Question

已知动点P在棱长为1的正方体的表面上运动，且线段，记点P的轨迹长度为.给出以下四个命题：

①；      ②；          ③

④函数在上是增函数， 在上是减函数.

其中为真命题的是___________（写出所有真命题的序号）

Answer

①④

【解析】

建立如图所示的空间直角坐标系，如图，则，所以的轨迹的几何意义是以为圆心为半径的球面。则是的函数，当时，以为圆心为半径的圆与正方体的表面的交线是四分之一圆周长弧长，相邻三个侧面的面积之和是，故答案①正确；当时，以为圆心为半径的圆过点，则，故答案②不正确；当时，以为圆心为半径的圆过点，则，故答案③不正确；由于时，单调递增且当时， 最大；当，单调递减，故答案④正确；应填答案①④。

点睛：解答本题的关键是借助题设中提供的新信息，分别逐一验证所给的四个命题的真伪，进而做出正确判断，从而使得问题获解。难点是如何发挥空间想象能力，求解时充分借助图形的直观，借助与发挥空间想象，探求到轨迹的形状（圆弧、线段），进而求得其长度，以便做出正确的判断。