Question

如图，多面体中，四边形是菱形， ,， 相交于， ∥，点在平面ABCD上的射影恰好是线段的中点．

（Ⅰ）求证： ；

（Ⅱ）若直线与平面所成的角为，求平面与平面所成角（锐角）的余弦值．

Answer

（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）.

【解析】【试题分析】（1）运用线面垂直的判定定理进行分析推证；（2）建立空间直角坐标系，运用空间向量的知识及数量积公式分析求【解析】

（Ⅰ）取AO的中点H，连结EH，则EH⊥平面ABCD

∵BD在平面ABCD内，∴EH⊥BD 又菱形ABCD中，AC⊥BD 且EH∩AC=H，EH、AC在平面EACF内

∴BD⊥平面EACF，即BD⊥平面ACF

（Ⅱ）由（Ⅰ）知EH⊥平面ABCD，以H为原点，如图所示建立空间直角坐标系H-xyz

∵EH⊥平面ABCD，∴∠EAH为AE与平面ABCD所成的角，

即∠EAH＝45°，又菱形ABCD的边长为4，则

各点坐标分别为,E(0,0, )

易知为平面ABCD的一个法向量，记=， = , =

∵EF//AC，

∴ 设平面DEF的一个法向量为 （注意：此处可以用替代）

即 ＝ ,

令，则，∴

∴

平面DEF与平面ABCD所成角（锐角）的余弦值为.

点睛：立体几何是高中数学中重要知识点与重点内容，也是高考重点考查的考点之一。这类问题的设置常常有两类题型：其一是线面位置关系的推证；其二是距离角度的计算。求解第一问时，运用线面垂直的判定定理进行推证；求解第二问时，则通过建立空间直角坐标系，运用向量的坐标形式的运算，先求两个平面的法向量，再借助向量的数量积公式进行求解，从而使得问题获解。