Question

过椭圆： 上一点向轴作垂线，垂足为右焦点， 、分别为椭圆的左顶点和上顶点，且， .

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）若动直线与椭圆交于、两点，且以为直径的圆恒过坐标原点.问是否存在一个定圆与动直线总相切.若存在，求出该定圆的方程；若不存在，请说明理由.

Answer

（1）（2）存在

【解析】试题分析：（1）由得，解得， ，，结合，即可求椭圆的方程；（2）先求得直线的斜率不存在及斜率为零时圆的方程，由此可得两圆所过公共点为原点，当直线的斜率存在且不为零时，设直线的方程为代入椭圆方程消掉得的二次方程，设，由韦达定理、向量数量积可得的表达式，再根据线圆相切可得的关系式，代入上述表达式可求得，由此可得结论.

试题解析：（1）由题意得，所以， .由得，解得， ，

由，得， ，椭圆的方程为.

（2）假设存在这样的圆.设， .

由已知，以为直径的圆恒过原点，即，所以.

当直线垂直于轴时， ， ，所以，又，解得，

不妨设， 或， ，即直线的方程为或，此时原点到直线的距离为.

当直线的斜率存在时，可设直线的方程为，解消去得方程：

，因为直线与椭圆交于， 两点，所以方程的判别式

，即，且， .

由，得 ，

所以 ，整理得（满足）.

所以原点到直线的距离.综上所述，原点到直线的距离为定值，即存在定圆总与直线相切.

【方法点睛】本题主要考查待定待定系数法椭圆标准方程方程、圆锥曲线的定值问题以及存在性上问题，属于难题.存在性问题解题思路：先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在.①当条件和结论不唯一时要分类讨论.②当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件.③当条件和结论都不知，按常规方法很难时，采取另外的途径.