Question

上周某校高三年级学生参加了数学测试，年部组织任课教师对这次考试进行成绩分析.现从中随机选取了40名学生的成绩作为样本，已知这40名学生的成绩全部在40分至100分之间（满分100分，成绩不低于40分），现将成绩按如下方式分成6组：第一组；第二组；……；第六组，并据此绘制了如图所示的频率分布直方图.

（Ⅰ）估计这次月考数学成绩的平均分和众数；

（Ⅱ）从成绩大于等于80分的学生中随机选2名，求至少有1名学生的成绩在区间内的概率.

Answer

（1）65分（2）

【解析】试题分析：（1）个矩形中点横坐标与纵坐标的积求和即可求平均数，最高矩形中点横坐标即为众数；（2）用列举法求出从成绩大于等于分的学生中随机选名学生的事件个数，查出至少有名学生成绩在的事件个数，然后直接利用古典概型概率计算公式求解.

试题解析：（1）因各组的频率之和为1，所以成绩在区间内的频率为

，

所以平均分 分，

众数的估计值是65分

（2）设表示事件“在成绩大于等于80分的学生中随机选2名，至少有1名学生的成绩在区间内”，由题意可知成绩在区间内的学生所选取的有： ，记这4名学生分别为， ， ， ，

成绩在区间内的学生有（人），记这2名学生分别为， ，

则从这6人中任选2人的基本事件事件空间为：

共15种，

事件“至少有1名学生的成绩在区间内”的可能结果为：

，共九种，

所以.

故所求事件的概率为： .

【方法点睛】本题主要考查古典概型概率公式，以及根据直方图求平均数和众数，属于中档题，利用古典概型概率公式,求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先， …. ，再， ….. 依次…. … 这样才能避免多写、漏写现象的发生.