选修4-4：坐标系与参数方程
已知极坐标系的极点为直角坐标系
的原点，极轴为
轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，圆
的直角坐标方程为
，直线
的参数方程为
（
为参数），射线
的极坐标方程为
．
（1）求圆
和直线
的极坐标方程；
（2）已知射线
与圆
的交点为
，与直线
的交点为
，求线段
的长．
已知函数
与
的图象在点
处有相同的切线．
（Ⅰ）若函数
与
的图象有两个交点，求实数
的取值范围；
（Ⅱ）若函数
有两个极值点
， 
，且
，证明： 
．
已知椭圆
： 
的上下两个焦点分别为
， 
，过点
与
轴垂直的直线交椭圆
于
、
两点， 
的面积为
，椭圆
的离心力为
．
（Ⅰ）求椭圆
的标准方程；
（Ⅱ）已知
为坐标原点，直线
： 
与
轴交于点
，与椭圆
交于
， 
两个不同的点，若存在实数
，使得
，求
的取值范围．
2016年时红军长征胜利80周年，某市电视台举办纪念红军长征胜利80周年知识问答，宣传长征精神．首先在甲、乙、丙、丁四个不同的公园进行支持签名活动，其次在各公园签名的人中按分层抽样的方式抽取10名幸运之星，每人获得一个纪念品，其数据表格如下：
公园 | 甲 | 乙 | 丙 | 丁 |
获得签名人数 | 45 | 60 | 30 | 15 |
（Ⅰ）求此活动中各公园幸运之星的人数；
（Ⅱ）从乙和丙公园的幸运之星中任选两人接受电视台记者的采访，求这两人均来自乙公园的概率；
（Ⅲ）电视台记者对乙公园的签名人进行了是否有兴趣研究“红军长征”历史的问卷调查，统计结果如下（单位：人）：
| 有兴趣 | 无兴趣 | 合计 |
男 | 25 | 5 | 30 |
女 | 15 | 15 | 30 |
合计 | 40 | 20 | 60 |
据此判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为有兴趣研究“红军长征”历史与性别有关．
临界值表：
| 0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
| 2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
参考公式： 
．
如图，已知四边形
和
均为平行四边形，点
在平面
内的射影恰好为点
，以
为直径的圆经过点
， 
， 
的中点为
， 
的中点为
，且
．
（Ⅰ）求证：平面
平面
；
（Ⅱ）求几何体
的体积．
已知正项等比数列
的前
项和为
， 
， 
，数列
满足
，且
．
（1）求数列
的通项公式；
（2）求数列
的前
项和．
