Question

如图，已知四边形和均为平行四边形，点在平面内的射影恰好为点，以为直径的圆经过点， ， 的中点为， 的中点为，且．

（Ⅰ）求证：平面平面；

（Ⅱ）求几何体的体积．　

Answer

（Ⅰ）证明过程见解析；（Ⅱ） .

【解析】（Ⅰ）此问题是要证面面垂直，由其判定定理，可根据“面面垂直线面垂直线线垂直”的思路去证明，根据题意可考虑与平面中的垂直；（Ⅱ）根据题意，将几何体分割成三棱锥和四棱锥两个几何体，再进行求解即可.

试题解析：（Ⅰ）∵点在平面内的射影恰好为点，∴平面，

又平面，∴平面平面．

又以为直径的圆经过点， ， ，∴为正方形．

又平面平面，∴平面．

∵平面， ，

又，∴，

又的中点为，∴，

∵，∴，

又平面， 平面， ，∴平面．

又平面，∴平面平面．

（Ⅱ）连接，由（Ⅰ）知， 平面，∴．

又， ，

∴平面，

又，∴平面．

∴．

∴几何体的体积为4．