Question

已知椭圆： 的上下两个焦点分别为， ，过点与轴垂直的直线交椭圆于、两点， 的面积为，椭圆的离心力为．

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）已知为坐标原点，直线： 与轴交于点，与椭圆交于， 两个不同的点，若存在实数，使得，求的取值范围．

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ） .

【解析】（Ⅰ）根据题目条件，由椭圆焦点坐标和对称性计算的面积，建立等式关系，结合关系式，离心率计算公式，问题可得解；（Ⅱ）由题意，可分直线是否过原点，对截距进行分类讨论，再利用椭圆对称性、向量共线、直线与椭圆有交点等性质、条件进行运算即可.

试题解析：（Ⅰ）根据已知椭圆的焦距为，当时， ，

由题意的面积为，

由已知得，∴，∴，

∴椭圆的标准方程为．

（Ⅱ）若，则，由椭圆的对称性得，即，

∴能使成立．

若，由，得，

因为， ， 共线，所以，解得．

设， ，由

得，

由已知得，即，

且， ，

由，得，即，∴，

∴，即．

当时， 不成立，∴，

∵，∴，即，

∴，解得或．

综上所述， 的取值范围为．

点睛：此题主要考查椭圆方程及其性质，直线与椭圆位置关系，平面向量在解析几何中的应用等有关方面的知识，属于中高档题型，也是高频考点.根据题意，在（Ⅰ）中联立椭圆方程、离心率、三角形的面积即求得椭圆方程，必要时可画草图辅助思考，在问题（Ⅱ）中联立椭圆与直线方程消去，由韦达定理求得直线与椭圆交点的横坐标和与积，再利用平面向量的共线关系，从而求出待定系数的取值范围.