Question

已知函数与的图象在点处有相同的切线．

（Ⅰ）若函数与的图象有两个交点，求实数的取值范围；

（Ⅱ）若函数有两个极值点， ，且，证明： ．

Answer

（Ⅰ）;（Ⅱ）证明过程见解析；

【解析】（Ⅰ）首先根据两函数在某点处有相同的切线，建立关于两函数解析式中参数的方程，求得两函数的解析式，再由题意构造新函数，将问题转化为新函数的单调性与最值问题进行求解；（Ⅱ）由题意，可将问题转化为其导数的两个根，再根据其函数的单调性，从而证明不等式立.

试题解析：（Ⅰ）因为， ，根据题意，得解得

所以．

设，则，

当时， ，当时， ，

所以，

又因为→时， →；当→时， →，

故欲使两图象有两个交点，只需， ，

所以实数的取值范围为.

（Ⅱ）由题意，函数，其定义域为，

，

令，得，其判别式，

函数有两个极值点， ，等价于方程在内有两不等实根，又，故．

所以，且， ，

，

令， ，

则，

由于，∴，故在上单调递减．

故．

所以，

所以．

点睛：此题主要考查函数导数的几何意义，以及函数单调性、最值在不等式证明中的综合应用能力等有关方面的知识，属于高档题型，也是高频考点.在问题（Ⅰ）中根据导数几何意义建立方程组，求出函数解析式，再由题意构造函数，将问题转化为求函数的零点个数，利用导数求出函数的最值、单调区间，从而求出实数的取值范围；在问题（Ⅱ）中，由（Ⅰ）可求出函数的解析式，依据导数与极值点的关系求出参数的范围，并求出参数与极值点的关系式，根据问题构造新的函数，再用函数的单调性证明不等式成立.