Question

某湿地公园内有一条河，现打算建一座桥将河两岸的路连接起来，剖面设计图纸如下：

其中，点为轴上关于原点对称的两点，曲线段是桥的主体，为桥顶，且曲线段在图纸上的图形对应函数的解析式为，曲线段均为开口向上的抛物线段，且分别为两抛物线的顶点，设计时要求：保持两曲线在各衔接处（）的切线的斜率相等.

（1）求曲线段在图纸上对应函数的解析式,并写出定义域；

（2）车辆从经倒爬坡，定义车辆上桥过程中某点所需要的爬坡能力为：（该点与桥顶间的水平距离）（设计图纸上该点处的切线的斜率），其中的单位：米.若该景区可提供三种类型的观光车:①游客踏乘；②蓄电池动力；③内燃机动力.它们的爬坡能力分别为米,米,米,又已知图纸上一个单位长度表示实际长度米,试问三种类型的观光车是否都可以顺利过桥?

Answer

⑴⑵“游客踏乘”的车辆不能顺利通过该桥，而“蓄电池动力”和“内燃机动力”的车辆可以顺利通过该桥.

【解析】试题分析：（1）据题意，抛物线段与轴相切，且为抛物线的顶点，设，则抛物线段在图纸上对应函数的解析式可设为，因为点为衔接点,则解得所以曲线段在图纸上对应函数的解析式为

（2）设是曲线段上任意一点,分别求P在两段上时，函数的最大值

若在曲线段上,则通过该点所需要的爬坡能力，，利用二次函数求其最值（米），若在曲线段上,则通过该点所需要的爬坡能力

，令，换元法求其最大阻值，（米），所以可知:车辆过桥所需要的最大爬坡能力为米,

又因为,所以“游客踏乘”的车辆不能顺利通过该桥，而“蓄电池动力”和“内燃机动力”的车辆可以顺利通过该桥．

试题解析：⑴据题意，抛物线段与轴相切，且为抛物线的顶点，设，则抛物线段在图纸上对应函数的解析式可设为，其导函数为

由曲线段在图纸上的图像对应函数的解析式为,

又,且,所以曲线在点处的切线斜率为,

因为点为衔接点,则解得

所以曲线段在图纸上对应函数的解析式为

⑵设是曲线段上任意一点,

①若在曲线段上,则通过该点所需要的爬坡能力

令 ,

所以函数 在区间上为增函数,在区间上是减函数,

所以（米）

②若在曲线段上,则通过该点所需要的爬坡能力

令则

记当时,而当时,

所以当时,有最小值从而取最大值

此时（米）

所以由①,②可知:车辆过桥所需要的最大爬坡能力为米,

又因为,所以“游客踏乘”的车辆不能顺利通过该桥，而“蓄电池动力”和“内燃机动力”的车辆可以顺利通过该桥．