Question

如图，在四棱锥中，平面，分别是棱的中点.

（1）求证：平面；

（2）求证：平面平面.

Answer

（1）详见解析（2）详见解析

【解析】

试题分析：（1）证明线面平行，一般利用线面平行判定定理，即从线线平行出发给予证明，而线线平行的寻找与证明，往往需结合平面几何条件，如本题利用三角形中位线性质定理得（2）证明面面垂直，一般利用面面垂直判定定理，即从线面垂直出发给予证明，而线面垂直的证明，需多次利用线面垂直的判定与性质定理：先由平行四边形为菱形得，再由平面得，即，从而得平面

试题解析：（1）设，连结，因为，为的中点，

所以，所以四边形为平行四边形，所以为的中点，所以

又因为平面，平面，所以平面.

（2）（方法一）因为平面，平面

所以，由（1）同理可得，四边形为平行四边形，所以，所以

因为，所以平行四边形为菱形，所以，因为

平面，平面，所以平面

因为平面，所以平面平面.

（方法二）连结，因为平面，平面，所以

因为，所以，因为平面，平面，所以

因为为的中点，所以，由（1），所以

又因为为的中点，所以

因为，平面，平面

所以平面，因为平面，所以平面平面.

考点：线面平行判定定理，面面垂直判定定理