Question

已知椭圆的离心率为，且过点.

()求椭圆的方程；

()    设点在椭圆上,且与轴平行,过点作两条直线分别交于椭圆于两点,若直线平分,求证:直线的斜率是定值,并求出这个定值.

Answer

⑴⑵.

【解析】试题分析：（1）根据椭圆的离心率可得，又椭圆

过点，联立方程组解得，椭圆的标准方程为

（2）设直线的方程为，联立方程组消去，由直线与圆锥曲线的位置关系得 ，即因为直线平分，即直线与直线的斜率为互为相反数，设直线的方程为，同理求得代入直线方程，可得

即所以直线的斜率为

试题解析：⑴ 因为椭圆的离心率为所以即

所以椭圆的方程可化为

又椭圆过点所以解得

所以所求椭圆的标准方程为

⑵由题意，设直线的方程为，

联立方程组

消去得：

所以，即

因为直线平分，即直线与直线的斜率为互为相反数，

设直线的方程为，同理求得

又所以

即

所以直线的斜率为