Question

已知函数，函数.

（Ⅰ）若曲线与直线相切，求的值；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，证明：；

（Ⅲ）若函数与函数的图像有且仅有一个公共点，证明：.

Answer

（I）；（II）详见解析；（III）详见解析.

【解析】试题分析：（1）借助题设条件，运用导数的几何意义建立方程；（2）先将不等式进行等价转化，再构造函数，运用导数的知识进行推证；（3）可构造函数运用求导法则进行求导，然后综合运用导数等知识进行分析探求。

试题解析：

【解析】
（Ⅰ）设曲线在点处切线是，则

由于所以，

由题意知：，于是.

（Ⅱ）令，

当时，，所以，

即，当时，，所以，

即，于是

在（0,1）单调递减，单调递增，

其最小值是，所以，于是原不等式成立.

（Ⅲ）令，

则函数与函数的图像有且仅有一个公共点等价于函数有且只有一个零点，，

注意到为上的增函数且值域为，

所以在上有唯一零点，

且在上为负，上为正，所以为极小值，

又函数有唯一零点，结合的单调性知，

所以，即，

即，

即.令，

显然，是的零点，

，

在（0,1）上为正，上为负，于是在上单调递减，

注意到 ,

所以在（1,2）内有一个零点，在内无零点，

所以的零点一定小于，从而函数与函数的图像有且仅有一个公共点时一定有.

点睛：本题以含参数的两个函数解析式为前提条件，精心设置了两个问题，旨在考查导数在研究函数的单调性与极值（最值）等方面的综合运用。求解第一问时，充分借助题设条件，运用导数的几何意义建立方程使得问题获解；第二问的求解则是将不等式进行等价转化，再构造函数，运用导数的知识进行推证从而获解；第三问求解时先构造函数，进而运用求导法则进行求导，然后综合运用导数等知识进行分析探求，进而使得问题获解。