Question

在平面直角坐标系中，直线不过原点，且与椭圆有两个不同的公共点.

（Ⅰ）求实数取值所组成的集合；

（Ⅱ）是否存在定点使得任意的，都有直线的倾斜角互补.若存在，求出所有定点的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer

（I）；（II）或.

【解析】试题分析：（1）联立直线与椭圆的方程运用二次方程的判别式建立不等式进行求解；（2）充分利用题设条件建立方程，借助坐标之间的关系进行运算求解、推理论证：

试题解析：

【解析】
（I）因为直线不过原点，所以，

将与联立，消去得：

，

因为直线与椭圆有两个不同的公共点，

所以，解得，

所以实数的范围组成的集合是；

（II）假设存在定点使得任意的,都有直线的倾斜角互补，

即，令,

所以，

整理得：，

由（1）知是的两个根，

所以，

代入化简得，

由题意解得或

所以定点的坐标为或，

经检验，满足题意，

所以存在定点使得任意的,都有直线的倾斜角互补，

坐标为或.

点睛：椭圆是典型的圆锥曲线代表之一，也高考必考的重要考点之一。本题的设置旨在考查椭圆的标准方程及几何性质等基础知识和基本技能，同时检测转化化归能力、运算求解能力及数形结合思想函数方程思想等数学思想和方法。求解第一问的思路是联立直线与椭圆的位置关系的方程运用二次方程的判别式建立不等式进行求解；第二问的求解过程则充分利用题设条件进行运算求解、推理论证从而使得问题获证。