Question

已知为正整数，数列满足，，设数列满足.

（1）求证：数列为等比数列；

（2）若数列是等差数列，求实数的值；

（3）若数列是等差数列，前项和为，对任意的，均存在，使得成立，求满足条件的所有整数的值.

Answer

（1）见解析;（2）;

（3）当N*，对任意的N*，均存在N*，使.

【解析】试题分析：（1）将经过移项、两边同时除以可得，故可得结论为等比数列；（2）由（1）得，代入得，由数列是等差数列易知，代入可解得，，将其进行检验得结果；

（3）由（2）得，利用等差数列前项和公式代入，解出，经讨论当时符合题意，当时不符合题意.

试题解析：（1）由题意得，因为数列各项均正，

得，所以，

因此，所以是以为首项公比为2的等比数列.

（2）由（1）得，，，

如果数列是等差数列，则，

得：，即，则，

解得 ，.

当时，，

，数列是等差数列，符合题意；

当=12时，，

，，

，数列不是等差数列，=12不符合题意；

综上，如果数列是等差数列，.

（3）由（2）得，对任意的N*，均存在N*，使，

则，所以.

当，N*，此时，对任意的N*，符合题意；

当，N*，当时，. 不合题意.

综上，当N*，对任意的N*，均存在N*，使.