Question

已知函数（其中为常数）．

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）当时，设函数的3个极值点为，，证明：．

Answer

（1）单调递减区间为；单调递增区间为；（2）证明见解析.

【解析】

试题分析：（1）当时 ，求函数的导数，函数的定义域为 ，令 ，解得 ，这样分求得导数的正负，得到函数的单调区间；（2）求函数的导数，经分析 有两个零点，所以求函数的导数 ，分析函数的单调性和极值，从而确定函数的两个零点是和 ，通过分析法等到等价的命题，这样分析函数 ，通过分析 得到结果.

试题解析：(1)当时，，；

∵当时，，当时，，当时，，∴函数的单调递减区间为；单调递增区间为

（2）由题意知，，

令函数，则，

则函数在单调递减，在单调递增；

∵函数的个极值点为，.

∴，∴，

当，，，函数的递增区间有，递减区间有，此时有个极值点，且，

∴当时，是函数的两个零点

即消去有，

令，有零点，且，

∴函数在上单调递减，在上单调递增；

要证明，

即证，

构造函数，则，

只需证明上单调递减即可.

而，

所以在上单调递增，∴

∴当时，.