Question

设函数，．

（1）当（为自然对数的底数）时，求的最小值；

（2）讨论函数零点的个数．

Answer

（1）的最小值是；（2）当时，函数无零点；当或时，函数有且只有一个零点；当时，函数有且只有两个零点．

【解析】

试题分析：（1）求函数的导数 ，函数的极值点为 ，所以得到函数的单调区间，也就得到函数的最小值了；（2）根据 ，参变分离后得到 ，设 ，通过导数求函数的单调性，以及图象特征，转化为 与函数的交点个数问题.

试题解析：(1)当时，，∴

当时，，在上是减函数；

当时，，在上是增函；

∴当时，取最小值．

（2）∵函数，

令，得；

设，则

当时，，在上是增函数；

当时，，在上是减函数；

当是的极值点，且是唯一极大值点，∴是的最大值点；

∴的最大值为，又结合的图像，

可知：

①当时，函数无零点；

②当时，函数有且只有一个零点；

③当时，函数有两个零点；

④当时，函数有且只有一个零点；

综上：

当时，函数无零点；当或时，函数有且只有一个零点；当时，函数有且只有两个零点.

【点睛】本题利用导数研究函数的零点，是高考考查的热点，对于超越方程求求根的个数，一般可根据构造函数，利用函数的导数分析函数的单调性和极值，分析函数图象的变化趋势分析函数图象，列出参数应满足的不等式求解，或是参变分离，转化为和函数图象的交点问题，同样利用导数研究分离后等号右边的函数.