Question

已知函数，若对于数列满足：，且，．

（1）求证：数列为等差数列，并求数列的通项公式；

（2）设，若数列的前项和为，求．

Answer

（1）；（2） ．

【解析】

试题分析：（1）代入函数关系整理为 ，再构造 ，求得 ，最后根据累加法得到数列的通项公式；（2）根据（1）的结果代入得到 ，根据错位相减法求和.

试题解析：(1)

即，∵，∴，

∴数列是一个以3为首项，以2为公差的等差数列；

则，

，，……，

累加得.

验证时上式成立，∴

(2) ，

则

两式作差得：

∴

【点睛】数列求和的一些方法：（1）分组转化法，，而数列可以直接求和，那就用分钟转化法求和，举例；（2）裂项相消法，能够将数列列为的形式，再用累加法求和，举例，，或是等；（3）错位相加法，，而是等差数列，是等比数列，适用于错位相减法求和，举例；（4）倒序相加法，，而，两个式子相加得到一个常数列，即可求得数列的和，举例，满足;(6)其他方法.