Question

设函数，，已知曲线在点处的切线与直线垂直.

（1）求的值；

（2）若对任意，都有，求的取值范围.

Answer

（1）（2）

【解析】

试题分析：（1）求出函数导数，由两直线垂直斜率之积为 ，解方程可得；

（2）求出导数，对 讨论，①若，则，②若，则，③若，分别求出单调区间，可得最小值，解不等式即可得到所求范围

试题解析：（1）曲线在点处的切线斜率为2，所以，

又，即，所以.

（2）的定义域为，

，

①若，则，故当时，，在上单调递增.

所以，对任意，都有的充要条件为，即，

解得或.

②若，则，故当时，；当时，

，在上单调递减，在上单调递增.

所以，对任意，都有的充要条件为，

而在上恒成立，

所以.

③若，在上递减，不合题意.

综上，的取值范围是.