Question

如图，椭圆，点在短轴上，且.

（1）求椭圆的方程及离心率；

（2）设为坐标原点，过点的动直线与椭圆交于，两点，是否存在常数，使得为定值？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.

Answer

（1）（2）

【解析】

试题分析：（1）通过，计算得 进而可得结论；（2）分情况对直线斜率的存在性进行讨论：①当直线的斜率存在时，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理计算可得当时，，②当直线AB的斜率不存在时，定值依然成立.

试题解析：（1）由已知，点的坐标分别为，，

又点的坐标为，且，即，

解得，所以椭圆的方程为.

因为，所以离心率.

（2）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，的坐标分别为

，联立得，

其判别式，所以，，，

从而

，

所以，当时，，

即为定值，

当直线斜率不存在时，直线即为直线，

此时，

故存在常数，使得为定值.

点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.