Question

如图，在四棱锥中，底面是菱形，且，点是棱的中点，平面与棱交于点.

（1）求证：；

（2）若，平面平面，求平面与平面所成的二面角的余弦值.

Answer

（1）详见解析（2）

【解析】

试题分析：（1）推导出，从而平面，由此能证明．
（2）取中点，连接，，以为原点，、、所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面与平面所成的二面角的余弦值．

试题解析：（1）证明：∵是菱形，∴，

又平面，平面，

∴平面，

∵四点共面，且面面，

∴.

（2）【解析】
取中点，连接，，

∵，∴，

∵平面平面，平面平面，

∴面，

∴，在菱形中，∵，，是中点，

∴，

如图，以为原点，、、所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，

由得，，，，，

，.

又∵，点是棱中点，∴点是棱中点，

∴，，，

设平面的法向量为，

则有，，取，则.

∵平面，∴是平面的一个法向量，

，二面角的余弦值为，

∴平面与平面所成的二面角的余弦值为.