Question

在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，右顶点为，直线过原点，且点在x轴的上方，直线与分别交直线：于点、.

（1）若点，求椭圆的方程及△ABC的面积；

（2）若为动点，设直线与的斜率分别为、.

①试问是否为定值？若为定值，请求出；否则，请说明理由；

②求△AEF的面积的最小值.

Answer

（1）（2）①②

【解析】

试题分析：（1）根据题意的离心率及点B的坐标，建立方程，求出a的值，即可求△ABC的面积；（2）①为定值，证明，由（1）得，即可得到结论；②设直线AB的方程为y=k1（x-a），直线AC的方程为y=k2（x-a），令x=a+1得，求出△AEF的面积，结合①的结论，利用基本不等式，可求△AEF的面积的最小值

试题解析：（1）由题意得 解得

椭圆的方程为 ……………………………………………………3分

△ABC的面积.………………………4分

（2）① 为定值，下证之：

证明：设，则，且.………………5分

而………………………7分

由离心率，得

所以，为定值.……………………………………………8分

②由直线的点斜式方程，得直线的方程为，直线的方程为. 令

，得，.

所以，△AEF的面积…………………………10分

由题意，直线的斜率. 由①，

于是，，

当且仅当，即时取等号.………………………………11分

所以，△AEF的面积的最小值为.………12分

考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的应用