Question

如图，在三棱锥中，平面平面，为等边三角形，

且，，分别为，的中点．

（I）求证：平面；

（II）求证：平面平面；

（III）求三棱锥的体积．

Answer

（I）详见解析（II）详见解析（III）

【解析】

试题分析：（Ⅰ）利用三角形的中位线得出OM∥VB，利用线面平行的判定定理证明VB∥平面MOC；（Ⅱ）证明OC⊥平面VAB，即可证明平面MOC⊥平面VAB；（Ⅲ）利用等体积法求三棱锥A-MOC的体积即可

试题解析：（Ⅰ）证明：∵O，M分别为AB，VA的中点，

∴OM∥VB，

∵VB⊄平面MOC，OM⊂平面MOC，

∴VB∥平面MOC；

（Ⅱ）证明：∵AC=BC，O为AB的中点，

∴OC⊥AB，

又∵平面VAB⊥平面ABC，平面ABC∩平面VAB=AB，且OC⊂平面ABC，

∴OC⊥平面VAB，

∵OC⊂平面MOC，

∴平面MOC⊥平面VAB

（Ⅲ）在等腰直角三角形中，，

所以.

所以等边三角形的面积.

又因为平面，

所以三棱锥的体积等于.

又因为三棱锥的体积与三棱锥的体积相等，

所以三棱锥的体积为.

考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定；用向量证明平行