Question

已知点,直线,动点到点的距离等于它到直线的距离.

（Ⅰ）求点的轨迹的方程；

（Ⅱ）是否存在过的直线,使得直线被曲线截得的弦恰好被点所平分？

Answer

（Ⅰ）（Ⅱ）直线的方程为

【解析】

试题分析：（Ⅰ）根据点P到点F的距离等于它到直线l的距离，利用抛物线的定义，可得点P的轨迹C是以F为焦点、直线x=-1为准线的抛物线，从而可求抛物线方程为；（Ⅱ）假假设存在满足题设的直线m．设直线m与轨迹C交于A，B，由中点坐标公式可得，利用点差法求直线的斜率，从而可得结论

试题解析：（1）因点P到点F的距离等于它到直线l的距离，

所以点P的轨迹C是以F为焦点、直线x=-1为准线的抛物线，

其方程为…………………4分

（2）假设存在满足题设的直线.设直线与轨迹交于,

依题意,得.

∵在轨迹上,

∴有,将,得.

当时,弦的中点不是,不合题意,

∴,即直线的斜率,

注意到点在曲线的张口内（或：经检验,直线与轨迹相交）

∴存在满足题设的直线

且直线的方程为：即.…………………12分

考点：直线与圆锥曲线的综合问题