Question

设函数（，，，）的图象在点处的切线的斜率为，且函数为偶函数．若函数满足下列条件：①；②对一切实数，不等式恒成立．

（1）求函数的表达式；

（2）设函数（）的两个极值点，（）恰为的零点，当时，求的最小值．

Answer

（1）；（2）．

【解析】

试题分析：（1）由已知可得，由为偶函数．又

，又恒成立恒成立

；（2）由（1）得，由题意得 ，由，（）

，又，设（），（）记为，利用导数工具求得的最小值为．

试题解析： （1）由已知可得，

∵函数为偶函数，

∴，

即恒成立，

所以． 又，∴，，

又∵对一切实数，不等式恒成立，

∴恒成立，

∴

∴，∴．

（2）由（1）得，，

∴（），，

由题意得 又，

∴，解得，

∵，（）为的零点，

∴，，

两式相减得，，

又，从而

， 设（），

则（）记为，

，

∴在上单调递减，

∴，

故的最小值为．

考点：1、函数的解析式；2、函数的导数；3、函数的奇偶性；4、函数的极值；5、函数的最值；6、函数的零点.

【方法点晴】本题考查函数的解析式、函数的导数、函数的奇偶性、函数的极值、函数的最值和函数的零点，涉及分类讨论思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型. 利用导数处理不等式问题.在解答题中主要体现为不等式的证明与不等式的恒成立问题.常规的解决方法是首先等价转化不等式，然后构造新函数，利用导数研究新函数的单调性和最值来解决，当然要注意分类讨论思想的应用.