Question

设：，在上恒成立；：函数在其定义域上存在极值．

（1）若为真命题，求实数的取值范围；

（2）如果“或”为真命题，“且”为假命题，求实数的取值范围．

Answer

（1）；（2）.

【解析】

试题分析：（1）由分离参数可得恒成立，即得结果；（2）当命题为真时，可得；当命题为真时，可得．“或”为真命题，“且”为假命题，说明、当中一个是真命题，另一个是假命题．再讨论当真假时和当真假时的两种情况，可得符合题意

的实数的取值范围．

试题解析：（1）因为对恒成立，所以，

所以，即的取值范围为．

（2）对于，，

若在定义域单调递增，在其定义域上不存在极值，不符合题意；

若，则，由，解得，

所以，若为真命题，则，

因为“或”为真命题，“且”为假命题，所以命题与一真一假，

①真假时，，解得，

②假真时，，解得，

综上所述，的取值范围为.

考点：命题的真假判断与应用.

【方法点睛】1．判断复合命题的真假，常分三步：先确定复合命题的构成形式，再指出其中简单命题的真假，最后由真值表得出复合命题的真假．2．判断一个“若则”形式的复合命题的真假，不能用真值表时，可用下列方法：“若则”为真，需严格的逻辑证明；而要确定“若则”为假，只需举出一个反例说明即可．3．判断逆命题、否命题、逆否命题的真假，有时可利用原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假这一关系进行转化判断．