[选修4-1：几何证明选讲]
如图，已知凸四边形
的顶点在一个圆周上，另一个圆的圆心
在
上，且与四边形
的其余三边相切．点
在边
上，且
．
求证：
，
，
，
四点共圆．
已知
（
）．
（1）当
时，求
的单调区间；
（2）函数
有两个零点
，
，且
①求
的取值范围；
②实数
满足
，求
的最大值．
已知数列
满足
，
，且对任意
，
都有
．
（1）求
，
；
（2）设
（
）．
①求数列
的通项公式；
②设数列
的前
项和
，是否存在正整数
，
，且
，使得
，
，
成等比数列？若存在，求出
，
的值，若不存在，请说明理由．
如图，在平面直角坐标系
中，椭圆
：
（
）的离心率为
，点
，
分别为椭圆
的上顶点、右顶点，过坐标原点的直线交椭圆
于
、
两点，交
于
点，其中点
在第一象限，设直线
的斜率为
．
（1）当
时，证明直线
平分线段
；
（2）已知点
，则：
①若
，求
；
②求四边形
面积的最大值．
图1是某种称为“凹槽”的机械部件的示意图，图2是凹槽的横截面（阴影部分）示意图，其中四边形
是矩形，弧
是半圆，凹槽的横截面的周长为
．若凹槽的强度
等于横截面的面积
与边
的乘积，设
，
．
（1）写出
关于
函数表达式，并指出
的取值范围；
（2）求当
取何值时，凹槽的强度最大．
如图，在四面体
中，
，
，点
，
分别为棱
，
上的点，点
为棱
的中点，且平面
平面
．求证：
（1）
；
（2）平面
平面
．
