Question

图1是某种称为“凹槽”的机械部件的示意图，图2是凹槽的横截面（阴影部分）示意图，其中四边形是矩形，弧是半圆，凹槽的横截面的周长为．若凹槽的强度等于横截面的面积与边的乘积，设，．

（1）写出关于函数表达式，并指出的取值范围；

（2）求当取何值时，凹槽的强度最大．

Answer

（Ⅰ）（）．（Ⅱ）

【解析】

试题分析：（Ⅰ）凹槽的横截面的周长为半圆周长与AD,AB,CD的长度之和，半圆直径为AB，因此，解得，再根据实际意义得，代入解得的取值范围（Ⅱ）由凹槽的强度定义得，利用导数求其最值：先求导数，再求导函数在定义区间上的零点，列表分析导函数符号变化规律，确定最值

试题解析：（Ⅰ）易知半圆的半径为，故半圆的弧长为．

所以，

得……………2分

依题意知：

得

所以，（）．………………6分

（Ⅱ）依题意，设凹槽的强度为，横截面的面积为，则有

，，…………………9分

因为，

所以，当时，，当时，，

所以当，凹槽的强度最大．………………………13分

答：所以当，凹槽的强度最大．…………………………14分

考点：利用导数求函数最值

【方法点睛】利用导数解答函数最值的一般步骤：第一步：利用f′(x)＞0或f′(x)＜0求单调区间；第二步：解f′(x)＝0得两个根x1、x2；第三步：比较两根同区间端点的大小；第四步：求极值；第五步：比较极值同端点值的大小．