Question

如图，在四面体中，，，点，分别为棱，上的点，点为棱的中点，且平面平面．求证：

（1）；

（2）平面平面．

Answer

（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）详见解析

【解析】

试题分析：（Ⅰ）先利用面面平行性质定理，转化为线线平行，再根据三角形中位线性质得为的中点，从而有（Ⅱ）证明面面垂直，一般利用其判定定理，即从线面垂直出发给予证明，而线面垂直的证明，一般利用线面垂直判定定理，即从线线垂直出发给予证明，而线线垂直的寻找与论证，往往需要利用平几知识，如本题等腰三角形性质得到

试题解析：（1）因为平面平面，

平面平面，平面平面，

所以，………………………………4分

又为的中点，

故为的中点，

同理可得，为的中点，

所以．……………………………7分

（2）因为，

由（1）知，为的中点，

所以，

又，即，

由（1）知，，所以，

又，，平面，

所以平面，…………………………12分

又平面，

故平面平面．…………………14分

考点：面面平行性质定理，面面垂直判定定理，线面垂直判定定理

【思想点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.

(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.

(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.

(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.