Question

已知数列满足，，且对任意，都有．

（1）求，；

（2）设（）．

①求数列的通项公式；

②设数列的前项和，是否存在正整数，，且，使得，，成等比数列？若存在，求出，的值，若不存在，请说明理由．

Answer

（Ⅰ），（Ⅱ）①②，

【解析】

试题分析：（Ⅰ）赋值法求项：由令，，则，解得．由令，，则，解得．（Ⅱ）①由于，所以利用赋值法构造递推关系：令，得，即得 ，再根据等差数列定义得通项公式②因为，所以先根据裂项相消法求和：，再根据，，成等比数列，得，取倒数分离得，再由为大于1的正整数得，代入解得

试题解析：（1）由题意，令，，则，解得．…………2分

令，，则，解得．…………………………………4分

（2）①以代替，得．…………………………………………5分

则，即．

所以数列是以为公差的等差数列．

，．…………………………………………………8分

②因为．

所以．…………11分

则，，．

因为，，成等比数列，，即．

所以，．．

解得．……………………………………………………………………14分

又，且，，则．

所以存在正整数，，使得，，成等比数列．……………………………16分

考点：等差数列定义，裂项相消法求和

【方法点睛】裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如 (其中是各项均不为零的等差数列，c为常数)的数列. 裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和(如本例)，还有一类隔一项的裂项求和，如或.