Question

如图，在平面直角坐标系中，椭圆：（）的离心率为，点，分别为椭圆的上顶点、右顶点，过坐标原点的直线交椭圆于、两点，交于点，其中点在第一象限，设直线的斜率为．

（1）当时，证明直线平分线段；

（2）已知点，则：

①若，求；

②求四边形面积的最大值．

Answer

（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）①或．②

【解析】

试题分析：（Ⅰ）证明直线平分线段，就是证明直线过线段中点，即验证线段中点满足直线方程，而由离心率可得中点坐标之间关系（Ⅱ）①由得，根据坐标投影可得与坐标关系：，再利用直线方程分别与椭圆方程、直线方程联立方程组解出，，代入解得或．②四边形面积可看作两个三角形面积之和,因此，再根据设，从而，也可利用点到直线距离公式及基本不等式求最值

试题解析：（1），由得中点为，满足，即直线过中点，也即平分线段

（2）点 椭圆的方程为

设，，则，

的直线方程为：

①设点到直线的距离为，，

则

………………………………6分

，即

由，解得；由，解得………………………8分

，即 或．………………………10分

②点到直线的距离

点到直线的距离

…………………………………12分

…………………………14分

当且仅当时取等号

所以四边形面积的最大值为．……………………16分

考点：直线与椭圆位置关系

【思路点睛】

直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组，利用韦达定理或求根公式进行转化，涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系，设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解。涉及中点弦问题往往利用点差法.