Question

已知.

（1）求函数的单调区间；

（2）若，满足的有四个，求的取值范围.

Answer

（1）在和上是增函数；在上是减函数；（2）.

【解析】

试题分析：（1）首先根据零点分段，将函数绝对值去掉，写成分段函数的形式，再分别求函数的导数，为函数的增区间，为函数的减区间；（2）设，根据（1）的结果可得函数的图像和性质，那么满足条件有4个解，即和共有4个不同的交点，结合图像分析可得的根的分别情况，即可得到的取值范围.

试题解析：解：（1），当时，，

所以在上是增函数，………………2分

当时，，

当时，；当时，；……………………4分

所以在和上是增函数；

在上是减函数.………………………………5分

（2）由（1）知，当时，函数取得极大值，令，

则当时，方程有3解；

当或时，方程有1解；

当时，方程有2解.………………7分

因为的有四个，所以有四解，所以方程在上有一解，在上有一解.……………………9分

记，

.…………………………12分

考点：1.导数与函数的单调性；2.导数与函数零点.