Question

如图，为圆的直径，点在圆上，，矩形所在的平面和圆所在的平面互相垂直，且.

（1）求证：；

（2）设的中点为，求三棱锥的体积与多面体的体积之比的值.

Answer

（1）详见解析；（2）1:5.

【解析】

试题分析：（1）要证明线面垂直，根据判定定理，可证明线与平面内的两条直线垂直，根据直径所对的圆周角等于，以及题设所给条件，可得,,这样就有了线面垂直的条件；（2）可先证明平面,那么点到平面的距离就是点到平面的距离，即,而多面体的体积等于,分别计算体积后得到体积的比值.

试题解析：（1）证明：∵矩形所在的平面和平面互相垂直，且，∴，

又，所以，又为圆的直径，得，，∴.……………………………………4分

（2）解：设的中点为，连接，则∴，又∵，∴，

∴为平行四边形，，又∵，

∴.…………………… 6分

显然，四边形为等腰梯形，，因此为边长是1的正三角形.

三棱锥的体积

；………………………………9分

多面体的体积可分成三棱锥与四棱锥的体积之和，

计算得两底间的距离.所以，

,

所以，∴.………………12分

考点：1.线线，线面，面面垂直；2.几何体的体积.