Question

已知椭圆，与轴的正半轴交于点，右焦点，为坐标原点，且.

（1）求椭圆的离心率；

（2）已知点，过点任意作直线与椭圆交于两点，设直线，的斜率为，若，试求椭圆的方程.

Answer

(1)；（2）.

【解析】

试题分析：（1）根据条件，再根据，可求得离心率；（2）根据（1）的结果，可设椭圆方程为，设过点的直线与椭圆联立方程，得到根与系数的关系，并且利用坐标表示，这样利用等式的恒成立，可求得，即可得到椭圆方程.

试题解析：解：（1）在直角三角形中，

∵，∴，即…………………………5分

（2）由（1）知，则椭圆方程可化为，

设直线，

，

∴，.…………………………7分

∴，

即对于任意的恒成立，

则，进而求得，

所以椭圆的方程是.……………………12分

考点：1.椭圆的性质；2.直线与椭圆位置关系.