Question

已知函数满足：对任意，，都有成立，且时，．

（1）求的值，并证明：当时，；

（2）判断的单调性并加以证明；

（3）若函数在上递减，求实数的取值范围．

Answer

（1），证明见解析；（2）在上是增函数，证明见解析；（3）.

【解析】

试题分析：（1）令可求得或，根据时，可排除，设，则，那么，再由可得结论；（2）设，则，∴，可证；（3）若函数在上递减，即时，，根据单调性，，进而.

试题解析：（1）∵，

∴，或．

若，则，

与已知条件时，相矛盾，

所以．

设，则，那么．

又，

∴，

∵，∴，从而．

（2）函数在上是增函数，设，则，∴，

，

∵由（1）可知对任意，，∴，

又，∴，

即，

∴函数在上是增函数．

（3）∵由（2）知函数在上是增函数，

∴函数在上也是增函数，若函数在上递减，

则当时，，即时，，

∵时，，

∴．

考点：1、函数的解析式及抽象函数的单调性；2、不等式恒成立问题.

【方法点晴】本题主要考查不等式恒成立问题、函数的解析式及抽象函数的单调性，属于难题.函数单调性的应用比较广泛，是每年高考的重点和热点内容．归纳起来，常见的命题探究角度有：（1）求函数的值域或最值；（2）比较两个函数值或两个自变量的大小；（3）解函数不等式；（4）求参数的取值范围或值；（5）判断或证明函数的单调性．本题即考查函数单调性的判定证明又考查了单调性得应用.