Question

某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产千件，需另投入成本，当年产量不足80千件时，（万元）；当年产量不小于80千件时（万元），通过市场分析，若每件售价为500元时，该厂本年内生产该商品能全部销售完．

（1）写出年利润（万元）关于年产量（千件）的函数解析式；

（2）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获的利润最大？

Answer

（1）；（2）.

【解析】

试题分析：（1）当，时，，当时，时，；（2）分段函数两段分别用单调性和基本不等式求最小值，在比较两最小值的大小即可 .

试题解析：（1）当，时，，

当时，时，

，

（2）当，时，，

∴当时，取得最大值；

当，时，，

当，即时，取得最大值．

综上所述，当时，取得最大值1000，

即年产量为100千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大．

考点：1、分段函数的解析式；2、阅读能力、建模能力及基本不等式求最值.

【方法点睛】本题主要考查阅读能力及建模能力、分段函数的解析式及基本不等式求最值，属于难题.与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.理解本题题意的关键是构造分段函数，构造分段函数时，做到分段合理、不重不漏，分段函数的最值是各段的最大(最小)者的最大者(最小者).