Question

设是定义在上的奇函数，且对任意实数，恒有，当时，．

（1）求证：是周期函数；

（2）当，求的解析式；

（3）计算：．

Answer

（1）证明见解析；（2）；（3）.

【解析】

试题分析：（1）由已知可得，即可证结论；（2）先求出的解析式，当时，，∴

；（3）函数的周期性可得，.

试题解析：（1）证明：∵，∴，

∴为周期函数且4是它的一个周期．

（2）∵为上的奇函数，∴，，

满足，∴时，，

当时，，∴，

∴时，，

又当时，，

∴．

（3）由函数的周期性可得，．

考点：1、函数的奇偶性及函数的周期性；2、函数的解析式.