Question

如图，在四棱锥中，侧面底面,,为中点，底面是直角梯形，,，,．

（1）求证：平面；

（2）求证：平面平面；

（3）设为棱上一点，,试确定的值使得二面角为．

Answer

（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.

【解析】

试题分析：（1）借助题设条件运用线面平行的判定定理推证；（2）借助题设运用面面垂直的判定定理推证；（3）依据题设运用二面角的定义求解探求.

试题解析：

（1）令中点为，连接，AF

点分别是的中点， ,.

四边形为平行四边形.

,平面, 平面

（2）在梯形中,过点作于,

在中，,.

又在中，,,

,

.

面面,面面,,面,

面,

,

,平面,平面

平面,

平面,

平面平面

（3）作于R，作于S，连结QS

由于QR∥PD，∴

∴∠QSR就是二面角的平面角

∵面面，且二面角为

∴∠QSR= ∴SR=QR

设SR=QR=x ，则RC= 2x， DR=，

∵QR∥PD ∴

∴

考点：空间直线与平面的平行于垂直位置关系的判定定理等有关知识的综合运用．

【易错点晴】空间直线与平面的位置关系的判定和性质一直是立体几何中的常见题型.本题以一个四棱锥为背景.考查的是空间中直线与平面的平行和垂直的判定和性质的运用问题.求解第一问时充分运用直线与平面平行的判定定理,探寻面内的直线与面外的直线平行；第二问中的面面垂直问题则运用转化与化归的思想将其化为直线与平面的垂直问题来推证；第三问则依据二面角的定义建立方程从而求出参数.