Question

设函数在上是奇函数，且对任意都有，当时，，：

（1）求的值；      

（2）判断的单调性，并证明你的结论；

（3）求不等式的解集.

Answer

（1）；（2）在上单调递减；证明详见解析；（3）。

【解析】

试题分析：（1）令可以得到：，由已知，所以；（2）函数在区间上为单调递减函数，可以按照函数单调性定义进行证明，设是上任意两个不等的实数，且，则，，再根据已知条件可有，因为当时，，所以，因此函数在区间上为单调递减函数；（3）根据第（1）问，再根据奇函数有：，所以不等式转化为，根据在区间上为单调递减函数，则有：，解得，所以。

试题解析：（1）在中，令得

（2）结论：函数在上是单调递减的，证明如下：

任取

则==

因为，所以，则，即

故函数在上单调递减。

（3）由于

所以不等式等价于

又是奇函数，所以

即

又因为函数在上单调递减，

所以，解得

故原不等式的解集为

考点：1.函数的单调性；2.函数的奇偶性；3.抽象函数。