选修4-4：坐标系与参数方程
以坐标原点为极点，
轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线
的极坐标方程是
.矩形
内接于曲线
，
两点的极坐标分别为
和
.将曲线上所有点的横坐标不变，纵坐标缩短为原来的一半，得到曲线
.
（1）写出
的直角坐标及曲线
的参数方程；
（2）设
为上任意一点，求
的取值范围.
选修4-1：几何证明选讲
如图，
与
都是以
为斜边的直角三角形，
为线段
上一点，
平分
，且
.
（1）证明：
四点共圆，且
为圆心；
（2）
与
相交于点
，若
，求
之间的距离.
已知函数
.
（1）讨论
的单调性；
（2）若函数
的两个零点为
，证明：
.
如图，过椭圆
上一点
向
轴作垂线，垂足为左焦点
，
分别为
的右顶点，上顶点，且
，
.
（1）求椭圆
的方程；
（2）过原点
做斜率为
的直线，交于
两点，求四边形
面积
的最大值.
甲将要参加某决赛，赛前
四位同学对冠军得主进行竞猜，每人选择一名选手，已知
选择甲的概率均为
，
选择甲的概率均为
，且四人同时选择甲的概率为
，四人均未选择甲的概率为
.
（1）求
的值；
（2）设四位同学中选择甲的人数为
，求的分布列和数学期望.
如图，在四棱锥
中，
底面
，
，
为等边三角形，
，
，
为
的中点.
（1）求
；
（2）求平面
与平面
所成二面角的正弦值.
