Question

已知函数.

（1）讨论的单调性；

（2）若函数的两个零点为，证明：.

Answer

（1）当时，在上单调递增，当时，在上单调递减，在上单调递增；（2）证明见解析.

【解析】

试题分析：（1），所以当时，在上单调递增；当时，在上单调递增；（2）函数的两个零点为，由（1）可得，构造函数，，在上单调递减，，即，将代入得，，所以，故.

试题解析：

（1），

所以当时，，在上单调递增；

当时，在上单调递减，在上单调递增.

（2）若函数的两个零点为，由（1）可得，

令，

则，

所以在上单调递减，，即.

令，则，所以，

由（1）可得在上单调递增，所以，故.

考点：函数导数与不等式．

【方法点晴】本题主要考查利用导数求函数的单调区间，构造函数证明不等式.第一问是一个常见的求导后对参数进行分类讨论的题，求导通分后分子是一个一次函数，则只需要分成两类，结合图像来讨论即可.第二问是极点偏移问题.构造函数后，利用导数求得函数是一个减函数，然后根据单调性就可以证明原不等式成立.