Question

如图，过椭圆上一点向轴作垂线，垂足为左焦点，分别为的右顶点，上顶点，且，.

（1）求椭圆的方程；

（2）过原点做斜率为的直线，交于两点，求四边形面积的最大值.

Answer

（1）；（2）.

【解析】

试题分析：（1）设焦距为，则，由得，则，由解得，椭圆的方程为；（2）设，的方程为，代入解得，直线的方程为，故，利用面积公式求得，利用基本不等式求得最大值为.

试题解析：

（1）设焦距为，则，由得，则，

则，又，则，

椭圆的方程为.

（2），设，到的距离分别为，

将代入得，则，

由得，且，

，

，

，因为，当且仅当时取等号，

所以当时，四边形的面积取得最大值.

考点：直线与圆锥曲线位置关系．

【方法点晴】直线和圆锥曲线的位置关系一方面要体现方程思想，另一方面要结合已知条件，从图形角度求解．联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后由根与系数的关系求解是一个常用的方法. 涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系、设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解．