Question

如图，已知定圆，定直线，过的一条动直线与直线相交于，与圆相交于，两点，是中点.

（Ⅰ）当与垂直时，求证：过圆心；

（Ⅱ）当时，求直线的方程；

（Ⅲ）设，试问是否为定值，若为定值，请求出的值；若不为定值，请说明理由.

Answer

（I）证明见解析；（II）或；（III）的值为定值.

【解析】

试题分析：（I）由已知，故，所以直线的方程为，即可证明；（II）当直线与轴垂直时，易知符合题意；当直线与轴不垂直时，设直线的方程为，利用圆心到直线的距离等于半径，即可求解；（III）当与轴垂直时，易得，，求得；当的斜率存在时，设直线的方程为，代入圆的方程，利用根与系数的关系，化简即可求解定值.

试题解析：（Ⅰ）由已知，故，所以直线的方程为.

将圆心代入方程易知过圆心.

（Ⅱ）当直线与轴垂直时，易知符合题意；

当直线与轴不垂直时，设直线的方程为，由于，

所以，由，解得.

故直线的方程为或.

（Ⅲ）当与轴垂直时，易得，，又，则，

，故,即.

当的斜率存在时，设直线的方程为，代入圆的方程得

，则.

，即，

.又由得，

则.

故，

综上，的值为定值，且.

另解一：连结，延长交于点，由（Ⅰ）知，又于，

故.于是有.

由，，得.

故.

另解二：连结并延长交直线于点，连结，，由（Ⅰ）知，又，

所以四点都在以为直径的圆上，由相交弦定理得

.

考点：直线与圆的位置关系；向量的运算.

【方法点晴】本题主要考查了直线与圆的位置关系、向量的运算，其中解答中涉及到直线的方程、点到直线的距离公式、一元二次方程中根与系数的关系等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及分类讨论和转化与化归思想的应用，其中解答中直线方程和圆的方程联立，利用根与系数的关系是解答的关键，属于中档试题.