Question

如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，，，，为与的交点，为棱上一点.

（Ⅰ）证明：平面平面；

（Ⅱ）若平面，求三棱锥的体积.

Answer

（I）证明见解析；（II）.

【解析】

试题分析：（I）由已知得出，由此能证明平面平面；（II）由已知得，取的中点，连接，由此利用，能求出三棱锥的体积.

试题解析：（Ⅰ）证明：∵平面，平面，

∴.∵四边形是菱形，∴，

又∵，平面.

而平面，∴平面平面.

（Ⅱ）【解析】
∵平面，平面平面，

∴，

∵是中点，∴是中点.

取中点，连结，∵四边形是菱形，，

∴，又，，∴平面，.

∴.

考点：平面与平面垂直的判定与证明；三棱锥的体积.

【方法点晴】本题主要考查了平面与平面垂直的判定与证明、三棱锥的体积，其中解答中涉及到直线与平面垂直的判定定理、四边形的性质，三棱锥体积公式的应用等知识点的考查，着重考查了转化与化归思想和学生的推理与运算能力，其中解答的关键在于利用三棱锥的体积间的转化是解得关键.