Question

在平面直角坐标系中，椭圆：（）的左、右焦点分别为，离心率为，以原点为圆心，以椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切. 过点的直线与椭圆相交于两点.

（1）求椭圆的方程；

（2）若，求直线的方程；

（3）求面积的最大值.

Answer

（1）；（2）或；（3）.

【解析】

试题分析：（1）离心率为即，以原点为圆心，以椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切，即圆心到直线的距离，解得，，所以椭圆的方程为；

（2）①当直线的斜率为时，不符合题意；②当直线的斜率不为时，设直线方程为，联立直线的方程和椭圆的方程，消去，写出根与系数关系，得，，由可得，，.所以直线方程为或；

（3）由（2）结合弦长公式、点到直线距离公式，可求得的表达式为，利用基本不等式求得最大值为.

试题解析：

（1）设椭圆方程为（），

∵离心率为，∴，即，又，∴.

∵以原点为圆心，以椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切，

∴圆心到直线的距离，∴，.

∴椭圆的方程为

（2）由题意可设直线方程为

①当直线的斜率为0时，不符合题意；

②当直线的斜率不为0时，则直线方程为，

可设，，由可得，得.

由得，由，

则，，

可得方程为，解得，.

∴直线方程为或.

（3）由（2）可得

当且仅当时“=”成立，即时，面积的最大值为2.

考点：直线与圆锥曲线位置关系．

【方法点晴】求椭圆的标准方程是圆锥曲线第一问常见的题型，主要的思想方法就是方程的思想，第一个已知条件是离心率，可以化为，第一个是直线和圆相切，圆心到直线的距离等于半径，相当于给出了，在结合椭圆中恒等式就可以求得标准方程.第二三问主要利用的是联立直线方程和椭圆方程，写出根与系数关系，然后化简向量或者利用弦长公式求解.