Question

已知圆：.

（1）直线过点，且与圆交于两点，若，求直线的方程；

（2）过圆上一动点作平行于轴的直线，设与轴的交点为，若向量，求动点的轨迹方程，并说明此轨迹是什么曲线.

Answer

（1）或；

（2）轨迹是焦点坐标为，长轴长为的椭圆，并去掉两点.

【解析】

试题分析：（1）当斜率不存在是，直线方程为，与圆的两个交点坐标为和，其距离为，满足题意.当斜率存在时，用点斜式设出直线方程为，利用圆的弦长公式有，和点到直线距离公式，可求得，故直线为或；（2）设点的坐标为，点坐标为，则点坐标是.利用已知，代入点的坐标化简得，.而，故的轨迹方程是 （）.

试题解析：

（1）①当直线垂直于轴时，则此时直线方程为，与圆的两个交点坐标为和，其距离为，满足题意.

②若直线不垂直于轴，设其方程为，即.

设圆心到此直线的距离为，则，得，∴，，

故所求直线方程为.

综上所述，所求直线方程为或.

（2）设点的坐标为，点坐标为，则点坐标是.

∵，∴，即，.

又∵，∴.

由已知，直线轴，∴，

∴点的轨迹方程是 （），

轨迹是焦点坐标为，长轴长为8的椭圆，并去掉两点.

考点：直线与圆锥曲线位置关系，曲线与方程．