Question

在底面是菱形的四棱锥中，，点在上，且，面面．

（1）证明：；

（2）在棱上是否存在一点，使平面？证明你的结论．

Answer

（1）证明见解析；（2）是棱的中点．

【解析】

试题分析：（1）由菱形，则，可得面，又由面面，利用线面平行的性质定理，即可得出；（2）当是棱的中点时，平面，根据三角形的中位线可得，在利用菱形的性质，证得，即可证明平面平面，从而得出平面．

试题解析：（1）∵菱形，

∴，又面，面，

∴面，又面，面面，

∴，∴，∴

（2）当是棱的中点时，平面．

证明如下，如图取的中点，连结，由于为中点，为中点，

所以①

由为中点，得，知是的中点，

连结、，设，因为四边形是菱形，则为的中点，

由于是的中点，是的中点，所以②

由①、②知，平面平面，

又平面，

所以平面．

考点：线面平行的判定与性质；立体几何的存在性问题．

【方法点晴】本题主要考查了立体几何问题，其中解答中涉及到直线与平面平行的判定定理和性质定理、菱形的性质和三角形性的中位线的应用、以及平面与平面平行的判定与性质，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，属于基础题，此类问题的解答的关键在于充分认识几何体的结构特征和熟记线面位置关系的判定与性质．