Question

已知函数．

（1）求函数的单调区间；

（2）若当时，函数的图象恒在函数的图象的上方，求实数的取值范围．

Answer

（1）在上单调递减，在上单调递增；（2）.

【解析】

试题分析：（1）对函数进行求导，，当时，；当时，，得单调区间；（2）将函数的图象恒在函数的图象的上方转化为不等式在上恒成立．

试题解析：（1）因为，所以，

令，得，

因为当时，；当时，，

所以函数在上单调递减，在上单调递增．

（2）由当时，函数的图象恒在函数的图象的上方，

可得不等式在上恒成立．

设，

则

①当时，因为在上恒成立，所以在上是增函数，又因为，所以当时，总有，不符合题意．

②当时，因为在上恒成立，所以在上是减函数，又因为，所以当时，总有，符合题意．

③当时，令，解得，在上是增函数，在上是减函数，又因为，所以当时，总有，不符合题意.

综上，实数的取值范围为．

考点：（1）利用导数研究函数的单调性；（2）恒成立问题.