Question

已知函数的图象过点，且在点处的切线方程．

（1）求函数的解析式；

（2）求函数与的图像有三个交点，求的取值范围．

Answer

（1）；（2）.

【解析】

试题分析：（1）由图象过点求出的值，再代入求出导数，再由切线方程求出、，分别代入求出和的值；（2）将条件转化为有三个根，再转化为的图象与图象有三个交点，再求出的导数、临界点、单调区间和极值，再求出的范围即可．

试题解析：（1）由的图象经过点，知

所以，则

由在处的切线方程是知，即．所以即解得．

故所求的解析式是．

（2）因为函数与 的图像有三个交点有三个根， 即有三个根

令，则的图像与图像有三个交点．

接下来求的极大值与极小值．

∴，令，解得或，

当或时，；当时，，

∴的增区间是，；减区间是，

的极大值为，的极小值为因此.

考点：（1）利用导数研究曲线上某点的切线方程；（2）根的存在性及根的个数判断.

【方法点睛】本题导数的几何意义、切点坐标的应用，导数研究函数的性质：单调性和极值等，涉及了函数图象的交点与方程之间的转化问题，待定系数法求解析式.注意切点的重要性，既在切线上又在曲线上且在该点处的导数即为切线的斜率，关于高次函数交点个数的判断主要通过导数研究函数的单调性与极值得到函数图象的大致形状，利用导数求函数的极值的步骤：①确定函数的定义域；②对求导；③求方程的所有实数根；④列表格．