Question

已知函数,令,其中是函数的导函数.

（1）当时,求的极值;

（2）当时,若存在,使得恒成立,求的取值范围.

Answer

（1）极小值,无极大值.（2）

【解析】

试题分析：（1）先求函数导数：，再求导函数零点。列表分析可得函数单调性变化规律，进而确定极值（2）先将不等式存在性问题转化为对应函数最值问题：，即，，再利用变量分离法将不等式恒成立问题转化为对应函数最值问题最大值，最后根据导数求函数最值

试题解析：（1）依题意,则,当时,,令,解得.当时,;当时,.所以的单调递减区间为,单调递增区间为.所以时,

取得极小值,无极大值.

（2）,当时,即:时,恒有成立.所以在上是单调递减.所以,所以,因为存在,使得恒成立，所以,整理得,

又.令,则,构造函数,当时,; 当时,,

此时函数单调递增,当时,,此时函数单调递减,所以,

所以的取值范围为.

考点：利用导数求函数极值，利用导数研究不等式恒成立与存在性问题

【方法点睛】利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法

（1）分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围.一般地，f（x）≥a恒成立，只需f（x）min≥a即可；f（x）≤a恒成立，只需f（x）max≤a即可.（2）函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值（最值），然后构建不等式求解.