Question

如图，在边长为的菱形中，，点分别是边，的中点，，沿将翻折到，连接，得到如图的五棱锥，且.

（1）求证：平面;

（2）求二面角的余弦值.

Answer

（1）详见解析（2）

【解析】

试题分析：（1）证明线面垂直，一般利用线面垂直判定定理，即从线线垂直出发给予证明，而线线垂直的寻求与论证，往往需要结合平几知识，如本题利用菱形的对角线互相垂直,得到而，所以因此平面.（2）求二面角平面角，一般利用空间向量进行求【解析】
先根据条件建立恰当的空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组解出面的法向量，再根据向量数量积得向量夹角，最后结合向量夹角与二面角的关系得结果.

试题解析：（1）点分别是边的中点,, 菱形的对角线互相垂直,平面平面平面平面.

（2）设,连接为等边三角形,, 在中,,在中,平面平面,平面,以为原点,所在直线为轴,所在直线轴，所在直线为轴,建立空间直角坐标系,则

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设平面的法向量为,由得,令,得,平面的一个法向量为.由（1）知平面的一个法向量为,设求二面角的平面角为,则,求二面角的的余弦值为.

考点：线面垂直判定定理，利用空间向量求二面角

【思路点睛】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.